Como fatorar a diferença de dois quadrados e utilizar os fatores resultantes para encontrar números inteiros positivos que satisfaçam uma equação do tipo \( c^2 - b^2 = k \)?

Resposta

Fatora-se a expressão como \( (c - b)(c + b) = k \) e, em seguida, busca-se pares de fatores inteiros positivos de \( k \) para que as equações sejam satisfeitas.

Explicação:
A diferença de dois quadrados pode ser fatorada como:
\( c^2 - b^2 = (c - b)(c + b) \).
Para encontrar números inteiros positivos \( c \) e \( b \) que satisfaçam essa equação para um dado valor \( k \), procuramos pares de números inteiros positivos cujo produto seja \( k \). Cada par \((x, y)\) representa \( c - b = x \) e \( c + b = y \).
Resolvendo o sistema:
\(\begin{cases} c - b = x \\ c + b = y \end{cases}\) somando e subtraindo:
\(c = \frac{x + y}{2}\), \(b = \frac{y - x}{2}\).
Assim, para que \( c \) e \( b \) sejam inteiros positivos, os valores \( x \) e \( y \) devem ter mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares) e \( y > x \).

Exemplo:
Considere a equação \( c^2 - b^2 = 15 \).
Fatore:
\( (c - b)(c + b) = 15 \).
Os pares de fatores positivos de 15 são: (1, 15) e (3, 5).
Para o par (1, 15):
\( c = \frac{1+15}{2} = 8 \), \( b = \frac{15-1}{2} = 7 \) (inteiros positivos, válido).
Para o par (3, 5):
\( c = \frac{3+5}{2} = 4 \), \( b = \frac{5-3}{2} = 1 \) (inteiros positivos, válido).
Portanto, as soluções inteiras positivas para \( c \) e \( b \) são (8,7) e (4,1).
Assim, a diferença entre os quadrados dessas soluções é 15:
\(8^2 - 7^2 = 64 - 49 = 15\)
\(4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15\).