Como determinar o período da soma de duas dízimas periódicas cujo período de um número é um inteiro e o do outro é outro inteiro diferente?

Resposta

O período da soma é, em geral, determinado pelo mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos das dízimas somadas.

Explicação:
Quando somamos duas dízimas periódicas, cada uma com períodos diferentes, o resultado é uma nova dízima periódica cujo período é o MMC dos períodos originais, pois o padrão decimal repetitivo só se repetirá quando os dois períodos se alinharem.
Por exemplo, se um número tem período 2 e o outro período 4, o período da soma será o MMC(2,4) = 4.
Assim, ao somar dízimas com períodos 3 e 7, o período da soma será o MMC(3,7) = 21.
No entanto, em casos especiais, a soma pode resultar em uma dízima de período menor, como no exemplo onde o resultado dá dízima de período 1, devido à composição dos dígitos e ajustes da soma.

Exemplo:
Considere \( a = 0,121212...\) (período 2) e \( b = 0,45454545...\) (período 2).
Somando-os temos:
\[ a + b = 0,121212... + 0,454545... = 0,575757... \]
A dízima resultante tem período 2, que é o MMC(2,2) = 2.
Outro exemplo:
Se \( c = 0,090909...\) (período 2) e \( d = 0,333...\) (período 1), então:
\[ c + d = 0,090909... + 0,333... = 0,424242... \]
O período da soma é 2, ou seja, o MMC(2,1) = 2.