Como calcular a fração total de um conjunto formado por subgrupos com proporções conhecidas e razão entre seus tamanhos?

Resposta

Para calcular a fração total, multiplica-se a fração de cada subgrupo pelo tamanho relativo do subgrupo, somando os numeradores e denominadores conforme a proporção dos grupos.

Veja um exemplo prático:

Suponha que em uma sala, 2/5 dos alunos são de química e 3/5 são de física.

Dos alunos de química, 4/7 gostam de laboratório.

Dos alunos de física, 5/9 gostam de laboratório.

Queremos saber a fração total dos alunos da sala que gostam de laboratório.

Chamemos:

Química = \( Q \), Física = \( F \)

Frações que gostam: \( Q_A = \frac{4}{7} Q \), \( F_A = \frac{5}{9} F \)

Razão entre os grupos já dada: \( \frac{Q}{F} = \frac{2}{3} \) (pois \( Q = \frac{2}{5} \) da turma e \( F = \frac{3}{5} \))

Sabendo que o total é \( Q + F = 1 \), temos:

\( Q = \frac{2}{5} \), \( F = \frac{3}{5} \)

A soma dos que gostam é:

\( Q_A + F_A = \frac{4}{7} \times \frac{2}{5} + \frac{5}{9} \times \frac{3}{5} = \frac{8}{35} + \frac{15}{45} = \frac{8}{35} + \frac{1}{3} \)

Para somar, comum denominador 105:

\( \frac{8}{35} = \frac{24}{105} \), \( \frac{1}{3} = \frac{35}{105} \)

Soma: \( \frac{24}{105} + \frac{35}{105} = \frac{59}{105} \)

Portanto, a fração total de alunos que gostam de laboratório é \( \frac{59}{105} \).