Como estimar o valor aproximado de uma raiz (quadrada ou cúbica) para determinar a quantidade de números inteiros em um intervalo definido por radicais?

Resposta

Estimamos o valor da raiz usando números perfeitos próximos, para encontrar um intervalo aproximado.

Por exemplo:

Para estimar \(\sqrt[3]{50}\), identificamos que \(\sqrt[3]{27} = 3\) e \(\sqrt[3]{64} = 4\), logo:

\(3 < \sqrt[3]{50} < 4\)

Se quisermos saber quantos números inteiros estão entre \(\frac{\sqrt[3]{50}}{2}\) e \(\frac{\sqrt{80}}{3}\), inicialmente estimamos:

\(\sqrt{64} = 8\) e \(\sqrt{81} = 9\) então \(8 < \sqrt{80} < 9\)

Dividindo: \(\frac{3}{2} = 1.5 < \frac{\sqrt[3]{50}}{2} < 2\)

e \(\frac{8}{3} \approx 2.67 < \frac{\sqrt{80}}{3} < 3\)

Portanto, os números inteiros entre 1.5 e 3 são 2 e 3.

Exemplo:

Calcule quantos números inteiros estão entre \(\frac{\sqrt[3]{27}}{2}\) e \(\frac{\sqrt{45}}{3}\).

Sabemos que \(\sqrt[3]{27} = 3\), então \(\frac{3}{2} = 1,5\).

\(\sqrt{36} = 6\) e \(\sqrt{49} =7\), assim \(6 < \sqrt{45} < 7\), e dividindo por 3:

\(\frac{6}{3} = 2 < \frac{\sqrt{45}}{3} < \frac{7}{3} \approx 2,33\).

Assim, os números inteiros entre 1,5 e aproximadamente 2,33 são apenas 2.