Flashcard FC192423
Como calcular o número de soluções inteiras positivas distintas para a equação \(x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n\), considerando um intervalo específico para cada variável?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
CESGRANRIO · 2024
Como calcular o número de soluções inteiras positivas distintas para a equação \(x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n\), considerando um intervalo específico para cada variável?
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Resposta
Calcular o número de soluções inteiras positivas distintas para a equação \(x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n\) envolve usar o Princípio Fundamental da Contagem e técnicas de Análise Combinatória para contar as soluções respeitando as condições impostas.Para equações do tipo \(x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n\) com \(x_i \geq 1\), o número de soluções inteiras positivas é dado por:
\(
\binom{n-1}{k-1}
\)\
Caso as variáveis devam ser distintas e estejam limitadas por um intervalo, deve-se ajustar a contagem eliminando os casos inválidos (como repetições e valores fora do intervalo), por meio de métodos como exclusão, inclusão, ou análise auxiliar.
Exemplo: Suponha que queremos encontrar o número de soluções inteiras positivas distintas para a equação \(a + b + c = 15\), onde cada variável deve estar entre 1 e 10 (inclusive) e todas distintas.
Passos:
1. Calcule o total de soluções inteiras positivas sem restrição de distinção:
\(
\binom{15-1}{3-1} = \binom{14}{2} = 91
\)
2. Identifique e elimine as soluções que não respeitam as condições de distinção e intervalo (por exemplo, onde \(a=b\), \(a>10\), etc.).
Nesse caso, uma abordagem prática é enumerar combinatoriamente as tripletas distintas dentro dos limites que somam 15.
Exemplo prático:
- Tripla (1, 6, 8): 1 + 6 + 8 = 15, todas entre 1 e 10 e distintas.
- Tripla (2, 5, 8): 2 + 5 + 8 = 15, válida também.
Assim, para problemas maiores, usa-se técnicas combinatórias juntamente com exclusão de casos inválidos para chegar à contagem final.
⬇️ Assista à vídeoaula ⬇️ Aula sobre Princípio Fundamental da Contagem
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/192094
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