Flashcard FC192433
Como se calcula a diferença entre o fatorial de \( n+1 \) e o fatorial de \( n \), e qual é o significado dessa diferença em termos de contagem?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
CESGRANRIO · 2018
Como se calcula a diferença entre o fatorial de \( n+1 \) e o fatorial de \( n \), e qual é o significado dessa diferença em termos de contagem?
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Resposta
A diferença \( (n+1)! - n! \) pode ser fatorada como \( n! \cdot n \).Isso mostra quanto maior é o número de permutações ao acrescentarmos uma nova pessoa, em relação às permutações anteriores.
Explicação:
O fatorial de \( n \) representa o número de maneiras de organizar \( n \) elementos. Quando adicionamos mais um elemento, o número total de arranjos passa a ser \( (n+1)! \).
A diferença entre essas duas quantidades indica quantas novas posições são criadas com esse acréscimo.
Exemplo:
Considere 3 objetos: A, B e C.
Número de permutações com 3 objetos: \( 3! = 6 \)
Número de permutações com 4 objetos (A, B, C e D): \( 4! = 24 \)
Diferença: \( 4! - 3! = 24 - 6 = 18 \)
Fatorando: \( 4! - 3! = 3! \cdot 3 = 6 \times 3 = 18 \)
Ou seja, ao adicionar o quarto objeto, surgem 18 novas permutações, que correspondem a \( n \cdot n! \) quando \( n = 3 \).
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Veja como foi cobrado:
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