Como calcular o número total de maneiras de formar um grupo com titulares e reservas quando há diferentes categorias de jogadores e restrições específicas na escolha?

Resposta

Multiplica-se o número de maneiras de escolher os titulares pelas maneiras de escolher os reservas, considerando as combinações em cada categoria.

Quando se tem categorias distintas e restrições para os titulares, calcula-se primeiro as combinações específicas para os titulares em cada categoria e após isso, escolhe-se os reservas combinando o restante dos jogadores disponíveis.

Exemplo: Imagine que há 10 músicos para formar uma orquestra com 4 solistas (1 violinista, 1 pianista, e 2 flautistas) e 3 suplentes. Suponha que:

• Violinistas disponíveis: 2
• Pianistas disponíveis: 3
• Flautistas disponíveis: 5

Calculamos as combinações para os solistas:

\( C_{2,1} = 2 \) (violinista)
\( C_{3,1} = 3 \) (pianista)
\( C_{5,2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 \) (flautistas)

Total para solistas: \( 2 \times 3 \times 10 = 60 \) maneiras.

Restam \( 10 - 4 = 6 \) músicos para escolher 3 suplentes:

\( C_{6,3} = \frac{6!}{3!3!} = 20 \)

Assim, o total de formas de relacionar o grupo é:

\( 60 \times 20 = 1200 \) maneiras.