Como calcular o número total de elementos na união de três conjuntos utilizando informações sobre interseções, diferenças e uniões parciais?

Resposta

Para calcular o número total de elementos na união de três conjuntos, soma-se os elementos de cada conjunto e subtrai-se as interseções repetidas, observando as diferenças e somas parciais conhecidas.

Por exemplo, considere três conjuntos X, Y e Z. Suponha que sabemos:

• Quantos elementos atendem a todos os três (X ∩ Y ∩ Z)
• O total de elementos em uniões parciais, como X ∪ Y ou Y ∪ Z
• O número de elementos que atendem a um critério, mas não a outro (diferenças)

Com essas informações, é possível determinar o número de elementos exclusivos em cada subconjunto e, finalmente, somar todos para encontrar \( n(X \cup Y \cup Z) \).

Exemplo prático:

Suponha que em uma pesquisa:

• 5 pessoas gostam dos 3 sabores: chocolate, baunilha e morango;
• 7 pessoas gostam apenas de chocolate e baunilha;
• 9 pessoas gostam de baunilha, mas não de morango;
• 6 pessoas gostam de morango, mas não de chocolate;
• 20 pessoas gostam pelo menos de chocolate ou baunilha.

Queremos o total de pessoas que gostam de pelo menos um dos sabores.

Passo 1: Considere o número de pessoas que gostam dos 3 sabores = 5.

Passo 2: Pessoas que gostam apenas de chocolate e baunilha = 7 (não incluindo as que gostam dos 3).

Passo 3: Pessoas que gostam de baunilha, mas não de morango = 9. Como 5 já gostam dos 3, pessoas que gostam só de baunilha = 9 - 5 = 4.

Passo 4: Pessoas que gostam de morango, mas não de chocolate = 6.

Passo 5: Pessoas que gostam pelo menos de chocolate ou baunilha são 20.

Então, somamos as pessoas que gostam apenas de chocolate, que calculamos a seguir:

\( \text{Pessoas que gostam de chocolate e baunilha} = 7 + 5 = 12 \)

\( \text{Portanto, pessoas que gostam de chocolate ou baunilha} = 20 \)

\( \text{Logo, pessoas que gostam apenas de chocolate} = 20 - 12 = 8 \).

Finalmente, o total é:

\( 8 (\text{apenas chocolate}) + 7 (\text{chocolate e baunilha}) + 5 (\text{os três sabores}) + 4 (\text{apenas baunilha}) + 6 (\text{apenas morango}) = 30 \).

Assim, utilizando essas informações parciais e diferenças, determinamos o total na união dos conjuntos.