Como se calcula o n-ésimo termo de uma progressão geométrica (PG) e qual é o procedimento para encontrar a tangente desse termo?

Resposta

O n-ésimo termo de uma PG é calculado por \(a_n = a_1 \times r^{n-1}\), onde \(a_1\) é o primeiro termo e \(r\) a razão da PG.
Para encontrar a tangente do termo calculado, deve-se primeiro determinar o valor do ângulo e depois aplicar a definição trigonométrica da tangente.

Exemplo prático:
Considere a PG \(\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, ...\right)\) com razão \(r = 2\).
Calcule o terceiro termo:

\[a_3 = \frac{\pi}{6} \times 2^{2} = \frac{\pi}{6} \times 4 = \frac{2\pi}{3}\]

Convertendo para graus:
\( \frac{2\pi}{3} = 120^\circ \)

Agora, calcule a tangente de \(120^\circ\):

\[\tan(120^\circ) = \frac{\sin(120^\circ)}{\cos(120^\circ)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}\]

Dessa forma, o terceiro termo da PG é \(\frac{2\pi}{3}\) e sua tangente vale \(-\sqrt{3}\).