Flashcard FC208085
Como utilizar a relação entre MDC e MMC para encontrar as idades de dois números sabendo a soma deles?
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VUNESP · 2024
Como utilizar a relação entre MDC e MMC para encontrar as idades de dois números sabendo a soma deles?
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Resposta
Para dois números \(a\) e \(b\), vale a fórmula: \(MMC(a,b) \times MDC(a,b) = a \times b\).Explanação:
Se sabemos o MDC e o MMC, podemos usar essa relação para encontrar o produto dos números.
Juntando essa informação com a soma dos números, formamos um sistema de equações com a soma e o produto. A partir daí, montamos uma equação quadrática para descobrir os valores dos números.
Exemplo:
Suponha que o MDC entre dois números seja 4, o MMC seja 180 e a soma seja 38.
Sabemos que:
\[ MMC \times MDC = a \times b \Rightarrow 180 \times 4 = a \times b = 720 \]
E a soma:
\[ a + b = 38 \]
Expressando \(b = 38 - a\):
\[ a \times (38 - a) = 720 \Rightarrow -a^2 + 38a - 720 = 0 \]
Ou:
\[ a^2 - 38a + 720 = 0 \]
Calculando o discriminante:
\[ \Delta = 38^2 - 4 \times 1 \times 720 = 1444 - 2880 = -1436 \]
Neste caso, o discriminante é negativo, não existem raízes reais. Então, ou os dados não são possíveis ou devem ser revistos.
Este exemplo mostra como aplicar a relação para encontrar os valores e verificar a consistência dos dados.
Outro exemplo com dados possíveis: MDC = 3, MMC = 180, soma = 63.
Calculamos:
\[ a \times b = 3 \times 180 = 540 \]
\[ a + b = 63 \Rightarrow b = 63 - a \]
\[ a (63 - a) = 540 \Rightarrow -a^2 + 63a -540 = 0 \Rightarrow a^2 - 63a + 540 = 0 \]
\[ \Delta = 63^2 - 4 \times 540 = 3969 - 2160 = 1809 \]
\[ \sqrt{1809} \approx 42.54 \]
\[ a = \frac{63 \pm 42.54}{2} \]
\[ a_1 = \frac{63 + 42.54}{2} \approx 52.77, \quad a_2 = \frac{63 - 42.54}{2} \approx 10.23 \]
Assim, os números aproximados são 53 e 10. Logo, é possível determinar as idades pelo sistema criado.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/207399
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