Como resolver sistemas de equações que envolvem razões e variações percentuais nos termos das quantidades?

Resposta

Para resolver sistemas desse tipo, isola-se uma variável em uma das equações e substitui-se na outra, considerando as variações percentuais aplicadas para atualizar os valores.

Por exemplo, imagine que a razão entre carros e motos é \( \frac{7}{3} \).

Se o número de carros aumenta em 20% e o número de motos diminui em 4, a nova razão passa a ser \( \frac{10}{3} \).

Seja \( c \) o número inicial de carros e \( m \) o de motos, temos:

\( \frac{c}{m} = \frac{7}{3} \Rightarrow 3c = 7m \)

Após as alterações:

\( \frac{1{,}2c}{m - 4} = \frac{10}{3} \Rightarrow 3 \times 1{,}2c = 10(m - 4) \)

Isolando \( m \) da primeira equação: \( m = \frac{3c}{7} \)

Substituindo na segunda equação:

\( 3,6 c = 10 \left( \frac{3c}{7} - 4 \right) \)

Multiplicando e simplificando:

\( 3,6 c = \frac{30 c}{7} - 40 \)

Multiplicando por 7 para eliminar o denominador:

\( 25,2 c = 30 c - 280 \)

Isolando \( c \):

\( 30 c - 25,2 c = 280 \Rightarrow 4,8 c = 280 \Rightarrow c = \frac{280}{4,8} = 58{,}33 \)

Assim, o número inicial de carros é aproximadamente 58.