Como resolver sistemas que envolvem uma razão entre duas quantidades e o total dessas quantidades?

Resposta

Para resolver, utiliza-se a relação entre as quantidades expressa pela razão e a soma total para montar equações que representam essas condições.

Por exemplo, se duas quantidades \(A\) e \(B\) têm uma razão \(\frac{m}{n}\) e a soma \(A + B = T\), podemos escrever:

\( \frac{A}{B} = \frac{m}{n} \) e \( A + B = T \)

Substituindo \(A = \frac{m}{n}B\) na equação da soma, obtemos:

\( \frac{m}{n}B + B = T \Rightarrow B \left(\frac{m}{n} + 1\right) = T \Rightarrow B = \frac{T}{\frac{m}{n} + 1} \)

Depois, calcula-se \(A = T - B\).

Exemplo:

Suponha que haja 55 bolas vermelhas e azuis no total, com razão entre bolas vermelhas e azuis de \(\frac{3}{4}\).

Temos:

\( \frac{R}{A} = \frac{3}{4} \)
\( R + A = 55 \)

Substituindo \(R = \frac{3}{4} A\):

\( \frac{3}{4} A + A = 55 \Rightarrow \frac{7}{4} A = 55 \Rightarrow A = \frac{55 \times 4}{7} = \frac{220}{7} \approx 31,43 \) (aproximadamente 31 bolas azuis)

Logo, \( R = 55 - 31,43 = 23,57 \) (aproximadamente 24 bolas vermelhas).

Assim, usando a razão e o total, encontramos as quantidades individuais.