Flashcard FC213884
Se \(X_1,\dots,X_n\) são independentes \(N(\mu,\sigma^2)\) e \(T=\sum_{i=1}^n w_i X_i\) (combinação linear), qual a distribuição de \(T\) e quais sua média e variância?
Característica dos Estimadores
CESGRANRIO · 2024
Se \(X_1,\dots,X_n\) são independentes \(N(\mu,\sigma^2)\) e \(T=\sum_{i=1}^n w_i X_i\) (combinação linear), qual a distribuição de \(T\) e quais sua média e variância?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Normal, com média \(\sum_i w_i\mu\) e variância \(\sum_i w_i^2\sigma^2\).Explicação:
Como uma combinação linear de variáveis normais independentes é normal, tem-se \displaystyle T=\sum_{i=1}^n w_i X_i \sim N\!\left(\sum_{i=1}^n w_i\mu,\;\sum_{i=1}^n w_i^2\sigma^2\right).
A esperança usa linearidade: \displaystyle E[T]=\sum_{i=1}^n w_i E[X_i]=\left(\sum_{i=1}^n w_i\right)\mu.
A variância, pela independência (covariâncias nulas), é \displaystyle \operatorname{Var}(T)=\sum_{i=1}^n w_i^2\operatorname{Var}(X_i)=\left(\sum_{i=1}^n w_i^2\right)\sigma^2.
Exemplo:
Considere \(T=\dfrac{3X_1 - X_2 + 2X_3}{4}\) com \(X_i\overset{\text{ind}}{\sim}N(\mu,\sigma^2)\).
\displaystyle E[T]=\frac{3-1+2}{4}\mu=\mu
\displaystyle \operatorname{Var}(T)=\frac{1}{16}\big(3^2+(-1)^2+2^2\big)\sigma^2=\frac{14}{16}\sigma^2=\frac{7}{8}\sigma^2
Logo, \(T\sim N\!\left(\mu,\tfrac{7}{8}\sigma^2\right)\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/213478
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em