Como determinar o número de passos n para que duas quantidades, inicialmente em razão a/b, que mudam linearmente por passo, atinjam uma nova razão c/d?

Iguale a nova razão e resolva a equação linear:
\((A + n\Delta A)/(B + n\Delta B)=c/d\)

Explicação:
1) Obtenha os valores iniciais \(A\) e \(B\) (ou expresse-os por uma constante comum se só souber a razão).
2) Identifique as variações por passo \(\Delta A\) e \(\Delta B\) (podem ser negativas).
3) Monte a equação \(\dfrac{A+n\Delta A}{B+n\Delta B}=\dfrac{c}{d}\) e resolva para \(n\).

Exemplo:
Inicialmente 270 pessoas em razão \(5/4\) → \(A=150\) e \(B=120\) (pois \(9k=270\), \(k=30\)). Em cada passo sai 6 de A e entram 3 em B, quer-se razão \(1/2\).
Equação: \(\dfrac{150-6n}{120+3n}=\dfrac{1}{2}\).
Resolvendo: \(2(150-6n)=120+3n \Rightarrow 300-12n=120+3n \Rightarrow 15n=180 \Rightarrow n=12\).
Final: \(A=150-6\cdot12=78\), \(B=120+3\cdot12=156\).