Como montar e resolver um sistema para encontrar quantidades de cédulas quando há o total em dinheiro e uma razão entre valores após retirar algumas cédulas?

Montar um sistema: uma equação para o total em reais e outra para a razão entre quantias após a retirada; resolver por substituição ou eliminação.

Explicação com exemplo:
Suponha cédulas de R$50 (x) e R$10 (y) totalizando R$370: \(50x+10y=370\).
Após gastar 1 cédula de R$50 e 2 de R$10, a razão entre as quantias passa a 2: \(\dfrac{50(x-1)}{10(y-2)}=2\).
Resolver a segunda: \(50x-50=20y-40\Rightarrow50x=20y+10\Rightarrow5x=2y+1\Rightarrow y=\dfrac{5x-1}{2}\).
Substituir na primeira (dividida por 10): \(5x+y=37\Rightarrow5x+\dfrac{5x-1}{2}=37\).
Multiplicando por 2: \(10x+5x-1=74\Rightarrow15x=75\Rightarrow x=5\).
Então \(y=\dfrac{5\cdot5-1}{2}=\dfrac{24}{2}=12\).
Total de cédulas inicialmente: \(x+y=5+12=17\).
Observação: mesmo método vale para quaisquer denominações: traduzir as condições em equações e resolver o sistema.