Como montar e resolver uma equação do 2º grau para encontrar x quando o total de pares distintos formados por x elementos é N?

Modelagem: define-se \(x\) como o número de elementos; cada um forma pares com os outros, totalizando \(x(x-1)=N\).

Resolução curta: transforma-se em \(x^2-x-N=0\) e resolve-se pela fórmula de Bhaskara usando \(\Delta=1+4N\).

Explicação completa:
1) Cada elemento interage com os outros \(x-1\) vezes, então o total é \(x(x-1)\).
2) Igualando ao total dado \(N\) obtém-se a quadrática \(x^2-x-N=0\).
3) Calcule \(\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-N)=1+4N\).
4) As raízes são \(x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4N}}{2}\); despreza-se raiz negativa se for o caso.

Exemplo:
Suponha que o total de pares seja 132. Monta-se \(x(x-1)=132\), isto é \(x^2-x-132=0\).
Calcula-se \(\Delta=1+4\cdot132=1+528=529\) e \(\sqrt{529}=23\).
Assim \(x=\dfrac{1\pm23}{2}\); despreza-se a negativa e obtém-se \(x=\dfrac{1+23}{2}=12\).
Portanto, há 12 elementos.