Como resolver a equação x + 1/x = a para obter as raízes e a diferença entre elas?

Multiplique por x e resolva: \(x^2-ax+1=0\). Raízes: \(x=\dfrac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}\). Diferença entre a maior e a menor: \(\sqrt{a^2-4}\).

Explicação e procedimento:
Multiplicar ambos os lados por \(x\) (assumindo \(x\neq0\)) gera a quadrática \(x^2-ax+1=0\). Calcule o discriminante \(\Delta=a^2-4\). As raízes são \(x_{1,2}=\dfrac{a\pm\sqrt{\Delta}}{2}\). A diferença \(x_1-x_2=\dfrac{(a+\sqrt{\Delta})-(a-\sqrt{\Delta})}{2}=\sqrt{\Delta}=\sqrt{a^2-4}\).

Exemplo:
Se \(a=3\): Multiplica: \(x^2-3x+1=0\). \(\Delta=3^2-4=9-4=5\). Raízes: \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\). Diferença: \(\sqrt{5}\approx2{,}236\).