Flashcard FC219271
O que caracteriza uma matriz quadrada como ortogonal?
Matrizes
VUNESP · 2022
O que caracteriza uma matriz quadrada como ortogonal?
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Resposta
Uma matriz quadrada A é ortogonal se suas colunas (ou linhas) formarem um conjunto ortonormal, isto é, A^T A = I (logo A^{-1}=A^T).exemplo:
Considere \(B=\begin{bmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{2}} & -\tfrac{1}{\sqrt{2}} \\[4pt] \tfrac{1}{\sqrt{2}} & \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}\).
Colunas: \(c_1=(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}})\), \(c_2=(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}})\).
\(\|c_1\|=\sqrt{(\tfrac{1}{\sqrt{2}})^2+(\tfrac{1}{\sqrt{2}})^2}=\sqrt{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}}=1\)
\(\|c_2\|=1\)
\(c_1\cdot c_2=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot(-\tfrac{1}{\sqrt{2}})+\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}}=-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=0\)
Logo as colunas são ortonormais, então \(B^T B=I\) e \(B^{-1}=B^T\), ou seja, \(B\) é ortogonal.
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