Como determinar a diferença entre o maior e o menor de três valores quando o intermediário e a média são conhecidos e o menor é uma fração do maior?

Expressar o menor em função do maior, usar a equação da média para achar o maior e calcular a diferença.

Explicação:
Seja x o menor, y o maior, o intermediário m e a média M, e suponha que x = t·y (t é a fração).
Da média: \( \dfrac{x + m + y}{3} = M \Rightarrow x + y = 3M - m.\)
Substituindo \(x = t y\): \((t+1)y = 3M - m \Rightarrow y = \dfrac{3M - m}{t+1}.\)
A diferença: \(y - x = y(1 - t) = (1 - t)\dfrac{3M - m}{t+1}.\)

Exemplo:
Se \(m=30\), \(M=50\) e o menor é metade do maior (\(t=\tfrac{1}{2}\)) então:
\(x = \tfrac{1}{2}y\) e \(\dfrac{x+30+y}{3}=50 \Rightarrow x+y=120.\)
Substituindo \(x=\tfrac{1}{2}y\): \(\tfrac{3y}{2}=120 \Rightarrow y=80.\)
Logo \(x=40\) e a diferença é \(y-x=80-40=40\).