Flashcard FC219304
Como relacionar as razões entre os totais e entre os "apenas" de dois conjuntos para determinar a interseção?
Sistemas Lineares
VUNESP · 2023
Como relacionar as razões entre os totais e entre os "apenas" de dois conjuntos para determinar a interseção?
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Resposta
Use variáveis proporcionais para os totais, aplique a fórmula da união e a razão entre os "apenas" para resolver a interseção.Explicação:
Defina \(A=\alpha k\) e \(B=\beta k\) pelas razões dos totais.
Use a fórmula da união: \(A+B-I=\text{total}\), onde \(I\) é a interseção.
Use a razão entre os "apenas": \(\dfrac{A-I}{B-I}=\) razão dada.
Resolva o sistema (essas duas equações) para encontrar \(I\).
Exemplo:
Suponha união total = 210, razão dos totais \(A:B=5:3\), razão dos apenas \( (A-I):(B-I)=9:5\).
Coloque \(A=5k\), \(B=3k\).
União: \(5k+3k-I=210 \Rightarrow 8k-I=210\).
Razão dos apenas: \(\dfrac{5k-I}{3k-I}=\dfrac{9}{5}\).
Multiplicando: \(5(5k-I)=9(3k-I)\Rightarrow 25k-5I=27k-9I\Rightarrow 4I=2k\Rightarrow I=\dfrac{k}{2}.\)
Substitua na união: \(8k-\dfrac{k}{2}=210 \Rightarrow \dfrac{15k}{2}=210 \Rightarrow k=28.\)
Logo \(I=\dfrac{k}{2}=14\).
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