Flashcard FC219337
Em um triângulo retângulo, como determinar os comprimentos dos catetos quando a hipotenusa é h e um cateto é k vezes o outro?
Geometria Plana
VUNESP · 2024
Em um triângulo retângulo, como determinar os comprimentos dos catetos quando a hipotenusa é h e um cateto é k vezes o outro?
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Resposta
Aplicar Pitágoras tomando um cateto \(x\) e o outro \(kx\): resolver \(x^{2}+(kx)^{2}=h^{2}\).Desenvolvimento:
Partindo de \(x^{2}+(kx)^{2}=h^{2}\) obtemos \(x^{2}(1+k^{2})=h^{2}\Rightarrow x=\dfrac{h}{\sqrt{1+k^{2}}}\).
O outro cateto é \(kx=\dfrac{kh}{\sqrt{1+k^{2}}}\).
Exemplo:
Se \(h=20\) e \(k=\tfrac{3}{4}\):
\(x^{2}\Big(1+\big(\tfrac{3}{4}\big)^{2}\Big)=20^{2}\Rightarrow x^{2}\cdot\dfrac{25}{16}=400\Rightarrow x^{2}=256\Rightarrow x=16.\)
Outro cateto: \(\tfrac{3}{4}\cdot16=12\).
Área: \(\tfrac{1}{2}\cdot16\cdot12=96\).
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