Como calcular o comprimento de um retângulo conhecendo sua largura e a diferença entre seu perímetro e o perímetro de um quadrado de lado igual à largura?

Use \(P_r=P_q+\Delta\) e \(P_r=2(\ell+w)\); assim \(\ell=\dfrac{P_r}{2}-w\) e, substituindo \(P_q=4w\), fica \(\ell = w+\dfrac{\Delta}{2}\).

Explicação:
Se a largura do retângulo for \(w\) e a diferença entre perímetros for \(\Delta\), então o perímetro do quadrado é \(P_q=4w\).
O perímetro do retângulo é \(P_r=P_q+\Delta\).
Como \(P_r=2(\ell+w)\), temos \(\ell=\dfrac{P_r}{2}-w\).
Substituindo \(P_r=4w+\Delta\) obtemos \(\ell=w+\dfrac{\Delta}{2}\).

Exemplo:
Suponha área do quadrado não dada; apenas \(w=50\) cm e diferença \(\Delta=40\) cm.
Então \(P_q=4w=4\cdot50=200\) cm.
\(P_r=P_q+\Delta=200+40=240\) cm.
\(\ell=\dfrac{P_r}{2}-w=\dfrac{240}{2}-50=120-50=70\) cm.
(ou direto \(\ell=w+\dfrac{\Delta}{2}=50+20=70\)).