Como encontrar a área total de um retângulo sabendo o perímetro P e que a largura é uma fração r do comprimento?

Calcule:
Da definição do perímetro: \(c+l=\dfrac{P}{2}\). Com \(l=r\,c\) vem \(c(1+r)=\dfrac{P}{2}\) ⇒ \(c=\dfrac{P/2}{1+r}\). Então \(A=c\cdot l=c\cdot(r c)=r c^2\). Se a fração ocupada é \(f\), a área não ocupada é \((1-f)A\).

Exemplo:
Se \(P=120\), \(r=\tfrac{2}{3}\) e \(f=\tfrac{3}{4}\):
\(c+l=\dfrac{120}{2}=60\)
\(c+\tfrac{2}{3}c=60\Rightarrow \tfrac{5}{3}c=60\Rightarrow c=36\)
\(l=\tfrac{2}{3}\cdot36=24\)
\(A=36\cdot24=864\)
Área não ocupada \(=(1-\tfrac{3}{4})\cdot864=\tfrac{1}{4}\cdot864=216\).