Flashcard FC219504
Como obter equações entre as arestas de um paralelepípedo retângulo a partir da área total e do perímetro da face de maior área?
Geometria Espacial
VUNESP · 2024
Como obter equações entre as arestas de um paralelepípedo retângulo a partir da área total e do perímetro da face de maior área?
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Resposta
Montando o sistema: usar \(2(xy+xz+yz)=A_{t}\) e \(2(y+z)=P\), junto com quaisquer relações entre arestas, e substituir para resolver.Explicação e exemplo:
Denote as arestas por x<y<z. Da área total: \(2(xy+xz+yz)=A_{t}\Rightarrow xy+xz+yz=S\).
Do perímetro da maior face (arestas y e z): \(2(y+z)=P\Rightarrow z=\dfrac{P}{2}-y\).
Use a relação extra entre arestas (por exemplo, \(y=x+2\Rightarrow x=y-2\)) e substitua em \(xy+xz+yz=S\) para obter uma equação em y, resolva e escolha a raiz física (positiva e consistente com as ordens).
Exemplo:
Dado \(A_{t}=432\ \text{cm}^2\) e perímetro da maior face \(P=40\ \text{cm}\), e \(y=x+2\).
Então \(S=\dfrac{A_{t}}{2}=216\), \(z=20-y\) e \(x=y-2\).
Substituindo: \((y-2)y+(y-2)(20-y)+y(20-y)=216\).
Simplificando obtém-se \( -y^{2}+36y-40=216 \Rightarrow y^{2}-36y+256=0\).
Resolvendo: \(y=8\) (raiz válida), logo \(x=6,\ z=12\).
Volume: \(V=xyz=6\cdot8\cdot12=576\ \text{cm}^3\).
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Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/215047
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