Flashcard FC219505
Qual a fórmula para obter a diagonal espacial de um prisma reto de base retangular a partir da altura H e da diagonal da base AC?
Geometria Espacial
VUNESP · 2024
Qual a fórmula para obter a diagonal espacial de um prisma reto de base retangular a partir da altura H e da diagonal da base AC?
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Resposta
\(d=\sqrt{H^{2}+AC^{2}}\)Explicação:
A diagonal espacial liga vértice da base ao vértice oposto superior; forma um triângulo retângulo com catetos a altura \(H\) e a diagonal da base \(AC\). Assim aplica-se o Teorema de Pitágoras: \(d^{2}=H^{2}+AC^{2}\), logo \(d=\sqrt{H^{2}+AC^{2}}\).
exemplo:
Considere um prisma com diagonal da base \(AC=5\) m, e cujas arestas da base satisfazem \(b=a+1\). Seja o volume \(V=60\) m³.
Primeiro, determine as arestas da base por \(a^{2}+(a+1)^{2}=5^{2}\):
\(\;2a^{2}+2a-24=0\Rightarrow a=3\) m (positiva), então \(b=4\) m e área da base \(A=3\cdot4=12\) m².
Calcule a altura: \(H=\dfrac{V}{A}=\dfrac{60}{12}=5\) m.
Finalmente, diagonal espacial: \(\;d=\sqrt{H^{2}+AC^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx7{,}07\) m.
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