Quando dois números positivos com produto constante têm a soma mínima?

Quando são iguais (pela desigualdade AM–GM).

Explicação:
Para \(x,y>0\), a desigualdade AM–GM dá \(\dfrac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\), com igualdade só se \(x=y\).
Assim, para produto fixo \(p\), a soma mínima é \(2\sqrt{p}\), obtida em \(x=y=\sqrt{p}\).

exemplo:
Se o produto é \(p=81\), então \(x=y=\sqrt{81}=9\) e a soma mínima é \(x+y=18\).
Cálculo: \(xy=81,\ x=y=9,\ x+y=18\).