Flashcard FC219554
Por que os autovalores de ATA são sempre não negativos?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
VUNESP · 2024
Por que os autovalores de ATA são sempre não negativos?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
Porque: para todo vetor não nulo \(v\), \(v^{T}A^{T}Av=\|Av\|^{2}\ge 0\), logo se \(A^{T}Av=\lambda v\) então \(\lambda=\dfrac{\|Av\|^{2}}{\|v\|^{2}}\ge0\).Explicação e exemplo:
Para qualquer \(v\in\mathbb{R}^{n}\) vale \(v^{T}A^{T}Av=(Av)^{T}(Av)=\|Av\|^{2}\ge0\).
Se \(v\) é autovetor de \(A^{T}A\) com autovalor \(\lambda\), temos \(v^{T}A^{T}Av=\lambda v^{T}v\). Como \(v^{T}v=\|v\|^{2}>0\), segue \(\lambda=\dfrac{\|Av\|^{2}}{\|v\|^{2}}\ge0\).
Exemplo: seja \(A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix}\).
\(A^{T}A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&4\end{pmatrix}\).
Os autovalores são \(\lambda_{1}=1\) e \(\lambda_{2}=4\), ambos não negativos — correspondendo aos quadrados dos valores singulares \(1\) e \(2\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/215097
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em