Qual é a negação lógica de \( \exists x\,(P(x)\leftrightarrow Q(x)) \)?

Resposta: \( \forall x\neg(P(x)\leftrightarrow Q(x))\), equivalente a \( \forall x\big((P(x)\land\neg Q(x))\lor(\neg P(x)\land Q(x))\)\).

Explicação:
Negar \( \exists\) transforma-o em \( \forall\) e nega a bicondicional.
Usamos a equivalência \( \neg(A\leftrightarrow B)\equiv (A\land\neg B)\lor(\neg A\land B)\).
Logo: \( \neg\exists x\,(P(x)\leftrightarrow Q(x))\equiv \forall x\neg(P(x)\leftrightarrow Q(x))\equiv \forall x\big((P(x)\land\neg Q(x))\lor(\neg P(x)\land Q(x))\big).\)

Exemplo:
Domínio: pessoas. Seja \(P(x)\): x fala português; \(Q(x)\): x fala espanhol.
A negação de "Existe pessoa que fala português se, e somente se, fala espanhol" é:
\( \forall x\big((P(x)\land\neg Q(x))\lor(\neg P(x)\land Q(x))\big)\),
ou seja: para toda pessoa, ela fala apenas português ou apenas espanhol (mas não ambos nem nenhum).