Como, usando a equivalência \(A\subset B \iff A+B=B\) e as propriedades da união, prova-se que se \(A\subset B\) e \(B\subset C\) então \(A\subset C\)?

A⊂C, pois a partir de \(A+B=B\) e \(B+C=C\) e usando associatividade/substituição obtém-se \(A+C=C\).

Explicação:
Partindo de \(A\subset B\) temos \(A+B=B\).
De \(B\subset C\) temos \(B+C=C\).
Pela associatividade e comutatividade da união: \((A+B)+C = A+(B+C)\).
Substituindo \(A+B=B\) no lado esquerdo e \(B+C=C\) no lado direito obtemos \(B+C = A+C\) e \(A+(B+C)=A+C\), logo \(A+C=C\).
Como \(A+C=C\) equivale a \(A\subset C\), conclui-se a transitividade.

Exemplo:
Considere conjuntos de figuras: \(Q\) = quadrados, \(R\) = retângulos, \(P\) = polígonos.
Sabendo \(Q\subset R\) e \(R\subset P\), temos \(Q+R=R\) e \(R+P=P\).
Então \((Q+R)+P = Q+(R+P)\). Substituindo, \(R+P = Q+P\) e como \(R+P=P\) segue \(Q+P=P\).
Portanto \(Q\subset P\).