Como obter a fórmula explícita de uma sequência quando suas diferenças consecutivas formam uma PA?

Resposta:
É uma sequência quadrática: \(a_n=a_1+(n-1)d_1+\dfrac{r(n-1)(n-2)}{2}\), onde \(d_1\) é a 1ª diferença e \(r\) é a razão da PA das diferenças.

Explicação:
Se as diferenças \(d_k\) são \(d_1,(d_1+r),(d_1+2r),\dots\), então
\(a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\big(d_1+(k-1)r\big)=a_1+(n-1)d_1+\dfrac{r(n-1)(n-2)}{2}\).
Isso é um polinômio quadrático (coeficiente de \(n^2\) igual a \(r/2\)).

exemplo:
Se \(a_1=3\), diferenças: \(5,9,13,\dots\) (ou seja, \(d_1=5\), \(r=4\)), então
\(a_n=3+(n-1)\cdot5+\dfrac{4(n-1)(n-2)}{2}\).
Simplificando: \(a_n=2n^2-n+2\).
Verificação: \(a_1=3\), \(a_2=8\) (3+5), \(a_3=17\) (8+9), \(a_4=30\) (17+13) — confere com a fórmula.