Flashcard FC240865
Como se calcula a área dentro de um triângulo equilátero que não é coberta pelos setores circulares de raio r centrados em seus vértices?
Geometria Plana
CESGRANRIO · 2013
Como se calcula a área dentro de um triângulo equilátero que não é coberta pelos setores circulares de raio r centrados em seus vértices?
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Resposta
Área = área do triângulo equilátero − soma das áreas dos três setores.
Explicação:
O ângulo interno de um triângulo equilátero é \(60^\circ\).
Cada setor de raio \(r\) e ângulo \(60^\circ\) tem área \(\dfrac{60}{360}\pi r^2=\dfrac{1}{6}\pi r^2\).
A soma dos três setores é \(3\cdot\dfrac{1}{6}\pi r^2=\dfrac{1}{2}\pi r^2\).
A área do triângulo de lado \(l\) é \(\dfrac{l^2\sqrt{3}}{4}\).
Portanto a área não coberta é \(\displaystyle \frac{l^2\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}\pi r^2\).
Exemplo:
Considere \(l=10\) e \(r=5\).
\(Área\ do\ triângulo=\dfrac{10^2\sqrt3}{4}=25\sqrt3\).
\(Soma\ dos\ setores=\dfrac{1}{2}\pi(5)^2=\dfrac{25\pi}{2}\).
Logo a área não coberta é \(\displaystyle 25\sqrt3-\dfrac{25\pi}{2}\approx 43{,}301-39{,}270\approx 4{,}031\).
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