Flashcard FC240870
Se os raios de círculos sucessivos formam uma PG de razão q (0<q<1), como expressar a soma infinita das áreas desses círculos em função da área do maior?
Geometria Plana
CESGRANRIO · 2014
Se os raios de círculos sucessivos formam uma PG de razão q (0<q<1), como expressar a soma infinita das áreas desses círculos em função da área do maior?
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Resposta
\(\displaystyle \text{Soma}=\dfrac{1}{1-q^{2}}\times\) área do maior.Seja \(R\) o raio do maior e \(A_{0}=\pi R^{2}\) sua área.
As áreas sucessivas são \(A_{0},\,A_{0}q^{2},\,A_{0}q^{4},\dots\).
Logo a soma infinita é
\(
\displaystyle S=A_{0}\sum_{k=0}^{\infty}q^{2k}=A_{0}\cdot\frac{1}{1-q^{2}}.
\)
Exemplo: tome \(q=\tfrac{1}{3}\) e área do maior \(A_{0}=81\ \text{cm}^{2}\).
Então
\(
\displaystyle S=81\cdot\frac{1}{1-(1/3)^{2}}=81\cdot\frac{1}{1-1/9}=81\cdot\frac{1}{8/9}=81\cdot\frac{9}{8}=\frac{729}{8}=91{,}125\ \text{cm}^{2}.
\)
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