Flashcard FC240872
Como calcular a área entre dois setores concêntricos com mesma amplitude θ e raios R e r?
Geometria Plana
CESGRANRIO · 2012
Como calcular a área entre dois setores concêntricos com mesma amplitude θ e raios R e r?
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Resposta
\(A=\tfrac{1}{2}\,\theta\,(R^{2}-r^{2})\) ( θ em rad)
Explicação:
Um setor de raio \(ρ\) e ângulo \(\theta\) tem área \( \tfrac{1}{2}\rho^{2}\theta\).
Para dois setores concêntricos com mesmos \(\theta\) e raios \(R\) e \(r\), subtrai-se as áreas: \(A=\tfrac{1}{2}\theta(R^{2}-r^{2})\).
Em graus: \(A=\dfrac{\pi\,(R^{2}-r^{2})\,\theta^\circ}{360^\circ}\).
Exemplo:
Se \(R=5,\;r=2\) e \(\theta=45^\circ\):
Usando graus: \(A=\dfrac{\pi(5^{2}-2^{2})\cdot 45}{360}=\dfrac{\pi(25-4)\cdot45}{360}=\dfrac{21\pi\cdot45}{360}=\dfrac{21\pi}{8}.\)
Usando radianos (\(\theta=\pi/4\)): \(A=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi}{4}\cdot(25-4)=\tfrac{\pi}{8}\cdot21=\tfrac{21\pi}{8}.\)
Explicação:
Um setor de raio \(ρ\) e ângulo \(\theta\) tem área \( \tfrac{1}{2}\rho^{2}\theta\).
Para dois setores concêntricos com mesmos \(\theta\) e raios \(R\) e \(r\), subtrai-se as áreas: \(A=\tfrac{1}{2}\theta(R^{2}-r^{2})\).
Em graus: \(A=\dfrac{\pi\,(R^{2}-r^{2})\,\theta^\circ}{360^\circ}\).
Exemplo:
Se \(R=5,\;r=2\) e \(\theta=45^\circ\):
Usando graus: \(A=\dfrac{\pi(5^{2}-2^{2})\cdot 45}{360}=\dfrac{\pi(25-4)\cdot45}{360}=\dfrac{21\pi\cdot45}{360}=\dfrac{21\pi}{8}.\)
Usando radianos (\(\theta=\pi/4\)): \(A=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi}{4}\cdot(25-4)=\tfrac{\pi}{8}\cdot21=\tfrac{21\pi}{8}.\)
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