Qual é o ângulo central α que maximiza a área de um segmento circular quando o comprimento do arco é fixo?

α = π (180°).

Justificativa:
Com o comprimento do arco fixo \(s\), tem-se \(r=\dfrac{s}{\alpha}\).
A área do segmento é \(A=\tfrac{1}{2}r^2(\alpha-\sin\alpha)\). Substituindo \(r\):
\(A=\dfrac{s^2}{2}\cdot\dfrac{\alpha-\sin\alpha}{\alpha^2}\).
Assim basta maximizar \(f(\alpha)=\dfrac{\alpha-\sin\alpha}{\alpha^2}\).
Derivando e anulando obtém-se a condição crítica \(2\sin\alpha=\alpha(1+\cos\alpha)\).
Verifica-se que \(\alpha=\pi\) satisfaz essa igualdade (\(\sin\pi=0,\ \cos\pi=-1\)), sendo ponto de máximo.

Exemplo:
Escolha \(s=10\). Para \(\alpha=\pi\):
\(r=\dfrac{10}{\pi}\), \(A=\tfrac{1}{2}r^2(\pi-\sin\pi)=\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{100}{\pi^2}\cdot\pi=\dfrac{50}{\pi}\approx15{,}915\).
Para \(\alpha=\tfrac{\pi}{2}\):
\(r=\dfrac{10}{\pi/2}=\dfrac{20}{\pi}\),
\(A=\tfrac{1}{2}r^2\big(\tfrac{\pi}{2}-\sin\tfrac{\pi}{2}\big)=\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{400}{\pi^2}\cdot\big(\tfrac{\pi}{2}-1\big)\approx11{,}57\).
Logo, com \(s\) fixo, a área é maior em \(\alpha=\pi\).