Flashcard FC240875
Qual a relação entre o raio da circunferência circunscrita e a altura de um triângulo equilátero inscrito?
Geometria Plana
CESGRANRIO · 2011
Qual a relação entre o raio da circunferência circunscrita e a altura de um triângulo equilátero inscrito?
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Resposta
R = \(\tfrac{2h}{3}\).Explicação:
No triângulo equilátero o centro (circuncentro/centroide) fica a \(2/3\) da mediana a partir do vértice, portanto o raio da circunferência circunscrita é \(R=\tfrac{2h}{3}\).
Com lado \(a\), \(h=\tfrac{\sqrt3}{2}a\), logo \(R=\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}a=\tfrac{\sqrt3}{3}a\).
Exemplo:
Se \(a=4\):
\(h=\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot4=2\sqrt3\).
\(R=\tfrac{2h}{3}=\tfrac{4\sqrt3}{3}\).
Área do círculo: \(A=\pi R^2=\pi\left(\tfrac{4\sqrt3}{3}\right)^2=\tfrac{16\pi}{3}\).
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