Em um triângulo equilátero, qual a relação entre o raio R da circunferência circunscrita e a altura h do triângulo?

R = 2h/3

Justificativa:
Num triângulo equilátero de lado \(a\) tem-se a altura \(h=\dfrac{a\sqrt3}{2}\) e o raio da circunferência circunscrita \(R=\dfrac{a}{\sqrt3}\). Eliminando \(a\): \(a=\dfrac{2h}{\sqrt3}\Rightarrow R=\dfrac{2h}{\sqrt3}\cdot\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{2h}{3}\).

Exemplo:
Se a área do triângulo equilátero for \(A=3\sqrt3\), então \(A=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\Rightarrow a^2=\dfrac{4A}{\sqrt3}=\dfrac{4\cdot3\sqrt3}{\sqrt3}=12\Rightarrow a=2\sqrt3\).
Altura: \(h=\dfrac{a\sqrt3}{2}=\dfrac{2\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=3\).
Raio: \(R=\dfrac{2h}{3}=\dfrac{2\cdot3}{3}=2\).
Área do círculo: \(\pi R^2=\pi\cdot2^2=4\pi\).