Qual é a relação entre o raio do círculo inscrito e a altura em um triângulo equilátero?

Resposta

r = h/3

Explicação:
Em um triângulo equilátero o incentro coincide com o centro das medianas, logo o raio do círculo inscrito é um terço da altura: \(r=\dfrac{h}{3}\).
Usando \(h=\dfrac{l\sqrt3}{2}\) obtém-se \(l= \dfrac{2h}{\sqrt3}=2\sqrt3\,r\).
A área do triângulo é \(A_{\Delta}=\dfrac{l^2\sqrt3}{4}=3r^2\sqrt3\).
Assim, a área externa ao círculo (de raio \(r\)) vale \(A_{\Delta}-A_{\circ}=3r^2\sqrt3-\pi r^2=r^2(3\sqrt3-\pi)\).

Exemplo:
Se a área do círculo inscrito for \(4\pi\), então \(\pi r^2=4\pi\Rightarrow r^2=4\) e \(r=2\).
Triângulo: \(A_{\Delta}=3r^2\sqrt3=3\cdot4\sqrt3=12\sqrt3\).
Área externa: \(12\sqrt3-4\pi\).