Flashcard FC240881
Se dois pontos são pontos médios de dois lados de um triângulo, qual a relação entre o segmento que os une e o terceiro lado e qual a razão entre as áreas do triângulo formado pelo
Geometria Plana
CESGRANRIO · 2012
Se dois pontos são pontos médios de dois lados de um triângulo, qual a relação entre o segmento que os une e o terceiro lado e qual a razão entre as áreas do triângulo formado pelo vértice oposto a esse segmento e o triângulo original?
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Resposta
MN é paralelo ao terceiro lado e vale metade dele; a razão linear é 2, logo a área do triângulo formado pelo vértice é \(S/4\).
Explicação:
Se M e N são pontos médios de dois lados de um triângulo, vale o teorema do segmento médio: MN ∥ BC e MN = BC/2.
Isso implica semelhança entre os triângulos maior e menor com razão linear 2 (porque cada lado do triângulo maior é o dobro do correspondente no menor). Assim, a razão entre as áreas é o quadrado da razão linear: \( \left(2\right)^2=4\).
Portanto, se a área do triângulo original é \(S\), a área do triângulo formado pelo vértice e pelo segmento entre os pontos médios é \(S/4\).
Exemplo:
Considere um triângulo com base \(BC=10\) e altura relativa 8, então \(S=\tfrac{1}{2}\cdot10\cdot8=40\).
O segmento médio tem comprimento \(MN=10/2=5\) e o triângulo menor terá área \(40/4=10\).
Logo, numericamente, \(\;S=40\Rightarrow S/4=10\).\
Explicação:
Se M e N são pontos médios de dois lados de um triângulo, vale o teorema do segmento médio: MN ∥ BC e MN = BC/2.
Isso implica semelhança entre os triângulos maior e menor com razão linear 2 (porque cada lado do triângulo maior é o dobro do correspondente no menor). Assim, a razão entre as áreas é o quadrado da razão linear: \( \left(2\right)^2=4\).
Portanto, se a área do triângulo original é \(S\), a área do triângulo formado pelo vértice e pelo segmento entre os pontos médios é \(S/4\).
Exemplo:
Considere um triângulo com base \(BC=10\) e altura relativa 8, então \(S=\tfrac{1}{2}\cdot10\cdot8=40\).
O segmento médio tem comprimento \(MN=10/2=5\) e o triângulo menor terá área \(40/4=10\).
Logo, numericamente, \(\;S=40\Rightarrow S/4=10\).\
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/235697
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