Como calcular o volume de um tronco de prisma triangular reto cujas arestas laterais, perpendiculares à base, têm comprimentos diferentes?

Resposta

Decompondo em um prisma de altura igual à menor aresta lateral e numa pirâmide sobre um trapézio; calcular \(V_p=A_{base}\cdot h_{min}\) e \(V_{py}=\dfrac{A_{trap}\cdot h_{tri}}{3}\) e somar.

Passos essenciais:
- Área do triângulo equilátero de lado \(a\): \(A_{base}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\).
- Volume do prisma de altura \(h_{min}\): \(V_p=A_{base}\cdot h_{min}\).
- Bases do trapézio da pirâmide: \(b_1=l_{max}-h_{min}\) e \(b_2=l_{med}-h_{min}\) (diferenças das arestas laterais).
- Área do trapézio: \(A_{trap}=\dfrac{(b_1+b_2)\,a}{2}\).
- Altura do triângulo (base da pirâmide): \(h_{tri}=\dfrac{a\sqrt3}{2}\).
- Volume da pirâmide: \(V_{py}=\dfrac{A_{trap}\cdot h_{tri}}{3}\).
- Volume total: \(V=V_p+V_{py}\).

exemplo: seja \(a=8\), arestas laterais \(2,5,7\).
\(A_{base}=\dfrac{8^2\sqrt3}{4}=16\sqrt3\).
\(V_p=16\sqrt3\cdot2=32\sqrt3\).
Bases do trapézio: \(7-2=5\) e \(5-2=3\).
\(A_{trap}=\dfrac{(5+3)\cdot8}{2}=32\).
\(h_{tri}=\dfrac{8\sqrt3}{2}=4\sqrt3\).
\(V_{py}=\dfrac{32\cdot4\sqrt3}{3}=\dfrac{128\sqrt3}{3}\).
\(V=32\sqrt3+\dfrac{128\sqrt3}{3}=\dfrac{224\sqrt3}{3}\approx129.33\).