Como, para um cilindro com área total fixa \(A_t\), expressar o volume em função do raio e obter o valor de \(r\) que maximiza esse volume?

Curto: Isolar \(h\) pela área total \(A_t=2\pi r^2+2\pi r h\), substituir em \(V=\pi r^2h\) e derivar; obtém-se \(r^2=\dfrac{A_t}{6\pi}\).

Completo:
Partindo de \(A_t=2\pi r^2+2\pi r h\), isolamos

\(h=\dfrac{A_t/(2\pi)-r^2}{r}\)

Substituindo em \(V=\pi r^2h\):

\(V(r)=\pi r^2\cdot\dfrac{A_t/(2\pi)-r^2}{r}=\dfrac{A_t}{2}\,r-\pi r^3\)

Derivando e igualando a zero:

\(V'(r)=\dfrac{A_t}{2}-3\pi r^2=0\Rightarrow r^2=\dfrac{A_t}{6\pi}\)

Verifica-se máximo por \(V''(r)=-6\pi r<0\) para \(r>0\).

Exemplo:
Suponha \(A_t=32\pi\). Então

\(r^2=\dfrac{32\pi}{6\pi}=\dfrac{16}{3}\Rightarrow r=\dfrac{4}{\sqrt3}\)

Calcule \(h\):

\(h=\dfrac{A_t/(2\pi)-r^2}{r}=\dfrac{16-\tfrac{16}{3}}{4/\sqrt3}=\dfrac{32/3}{4/\sqrt3}=\dfrac{8}{3}\sqrt3\)

E o volume máximo (exato):

\(V_{\max}=\pi r^2 h=\dfrac{128\pi}{3\sqrt3}\)