Ao enrolar um retângulo para formar um cilindro, como se relacionam as dimensões do retângulo com a altura e a circunferência da base do cilindro?

Curta: A altura corresponde a uma aresta do retângulo e a circunferência da base corresponde à outra; assim \(r=\dfrac{\text{lado correspondente}}{2\pi}\) e \(V=\pi r^2 h\).

Explicação:
Se o retângulo tem lados \(a\) e \(b\) e ao enrolá-lo \(a\) for a altura, então a circunferência da base vale \(b\).
Portanto \(2\pi r=b\Rightarrow r=\dfrac{b}{2\pi}\).
A área da base é \(A_b=\pi r^2\) e o volume é \(V=A_b\cdot h=\pi\left(\dfrac{b}{2\pi}\right)^2\cdot a\).

Exemplo:
Retângulo de \(12\) cm por \(5\) cm, com \(5\) cm como altura e \(12\) cm como circunferência:
\(r=\dfrac{12}{2\pi}=\dfrac{6}{\pi}\ \text{cm}\)
\(A_b=\pi\left(\dfrac{6}{\pi}\right)^2=\dfrac{36}{\pi}\ \text{cm}^2\)
\(V=A_b\cdot h=\dfrac{36}{\pi}\cdot5=\dfrac{180}{\pi}\ \text{cm}^3\)