Flashcard FC240956
Se dois cones semelhantes têm razão linear \(k\), qual é a razão entre seus volumes?
Geometria Espacial
CESGRANRIO · 2010
Se dois cones semelhantes têm razão linear \(k\), qual é a razão entre seus volumes?
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Resposta
\(k^3\)Justificativa:
Em sólidos semelhantes, todas as dimensões lineares escalam por \(k\) (raio e altura também).
Como o volume de um cone é \(V=\tfrac{1}{3}\pi r^2 h\), temos
\( \dfrac{V_2}{V_1}=\dfrac{\tfrac{1}{3}\pi (kr_1)^2 (kh_1)}{\tfrac{1}{3}\pi r_1^2 h_1}=k^3.\)
Exemplo: Cone A tem altura \(10\) cm e raio \(4\) cm. Cone B é semelhante com altura \(5\) cm, logo \(k=\tfrac{5}{10}=\tfrac{1}{2}\).
Então \( \dfrac{V_B}{V_A}= \left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8}.\)
Se \(V_A=\tfrac{1}{3}\pi\cdot4^2\cdot10=\tfrac{160}{3}\pi\) cm\(^3\), então \(V_B=\tfrac{1}{8}V_A=\tfrac{20}{3}\pi\) cm\(^3\).
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