Como usar o aumento da altura da água em um cilindro para calcular o volume total de corpos imersos?

Compare o volume deslocado com a área da base vezes a altura aumentada: o volume deslocado = área da base · aumento de altura = soma dos volumes dos corpos imersos.

Explicação e exemplo:
Seja r_c o raio do cilindro e Δh o aumento da altura; então o volume deslocado é \(V_{desloc}= \pi r_c^2\Delta h\). Esse volume é igual ao volume total dos corpos. Para esferas, com n esferas de raio r, tem-se
\(\pi r_c^2\Delta h = n\cdot \dfrac{4\pi r^3}{3}\).
Isolando r: \(r^3=\dfrac{3\,r_c^2\Delta h}{4n}\) e \(r=\sqrt[3]{\dfrac{3\,r_c^2\Delta h}{4n}}\).

Exemplo:
Um cilindro com raio \(r_c=5\) cm sofre um aumento \(\Delta h=4\) cm ao mergulharem \(n=8\) esferas. Calcula-se:
\(V_{desloc}=\pi\cdot5^2\cdot4=100\pi\) cm³
\(100\pi=8\cdot\dfrac{4\pi r^3}{3}\Rightarrow 100=\dfrac{32}{3}r^3\Rightarrow r^3=\dfrac{300}{32}=\dfrac{75}{8}\)
\(r=\sqrt[3]{75/8}\approx2{,}11\) cm, então o diâmetro é aproximadamente \(2r\approx4{,}22\) cm.