Qual condição deve satisfazer o vetor que liga pontos P0∈r0 e P1∈r1 para que a distância entre duas retas seja mínima?

O vetor P0P1 deve ser ortogonal a ambos os vetores diretores: (P0P1)·u=0 e (P0P1)·v=0.

Explicação e exemplo:
Se r0: P0=A+tu com u e r1: P1=B+sv com v, então P0P1=(B-A)+s v - t u e as equações para t,s são \( (B-A+s v - t u)\cdot u=0\) e \( (B-A+s v - t u)\cdot v=0\).
exemplo: Seja r0 com A=(0,0,0), \(u=(1,0,1)\) e r1 com B=(0,1,0), \(v=(0,1,1)\).
Tomando \(P_0=(t,0,t)\) e \(P_1=(0,1+s,s)\), temos \(P_0P_1=(-t,1+s,-t+s)\).
Impondo ortogonalidade:
\(( -t,1+s,-t+s)\cdot u=-2t+s=0\Rightarrow s=2t\).
\(( -t,1+s,-t+s)\cdot v=1 - t +2s=0\). Substituindo \(s=2t\): \(1+3t=0\Rightarrow t=-\tfrac13,\ s=-\tfrac23\).
Então \(P_0P_1=(\tfrac13,\tfrac13,-\tfrac13)\) e a distância é \(\|P_0P_1\|=\sqrt{(\tfrac13)^2+(\tfrac13)^2+(-\tfrac13)^2}=\sqrt{\tfrac13}=\dfrac{1}{\sqrt3}.\)