Flashcard FC240975
Como determinar os pontos de interseção de um plano com os eixos e o volume do tetraedro formado pelos planos coordenados?
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2018
Como determinar os pontos de interseção de um plano com os eixos e o volume do tetraedro formado pelos planos coordenados?
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Resposta
Interceptos: se o plano é \(x/A+y/B+z/C=1\), então os interceptos são \((A,0,0),(0,B,0),(0,0,C)\).Volume: \(V=\dfrac{A\,B\,C}{6}\).
Explicação:
Ao anular duas coordenadas obtemos os interceptos com os eixos: \(A,B,C\).
Tomando a base no plano \(z=0\), a área do triângulo é \(A_{base}=\dfrac{A\cdot B}{2}\) e a altura relativa a essa base é \(C\).
Logo \(V=\dfrac{A_{base}\cdot C}{3}=\dfrac{(A\cdot B/2)\cdot C}{3}=\dfrac{A\,B\,C}{6}\).
Se o plano estiver na forma \(a x+b y+c z=1\), então \(A=\dfrac{1}{a},B=\dfrac{1}{b},C=\dfrac{1}{c}\) e \(V=\dfrac{1}{6abc}\).
Exemplo:
Considere \( \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{5}=1\).
Interceptos: \(A=2,\;B=3,\;C=5\).
\(A_{base}=\dfrac{2\cdot3}{2}=3\).
\(V=\dfrac{A_{base}\cdot C}{3}=\dfrac{3\cdot5}{3}=5\).
Ou diretamente \(V=\dfrac{2\cdot3\cdot5}{6}=5\).
Veja como foi cobrado:
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