Flashcard FC240977
Qual condição envolvendo a distância do centro à reta garante que a reta seja tangente a uma circunferência?
Geometria Analítica
CESGRANRIO · 2018
Qual condição envolvendo a distância do centro à reta garante que a reta seja tangente a uma circunferência?
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Resposta
Quando a distância do centro à reta é igual ao raio.Explicação:
Para uma reta \(ax+by+c=0\) e um centro \((x_0,y_0)\), a distância do centro à reta é \( \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \).
Logo, a reta é tangente à circunferência de raio \(r\) se e somente se
\( \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} = r\).
Exemplo:
Considere circunferência com centro \((1,2)\) e raio \(5\) e reta na forma \(x-y+c=0\).
A distância do centro à reta é \( \dfrac{|1-2+c|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|c-1|}{\sqrt2}\).
Para tangência impõe-se \(\dfrac{|c-1|}{\sqrt2}=5\), então \(|c-1|=5\sqrt2\).
Um valor que satisfaz é \(c=1+5\sqrt2\), portanto a reta \(x-y+1+5\sqrt2=0\) é tangente à circunferência.
Veja como foi cobrado:
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