Como calcular o volume da pirâmide formada pelos pontos de interseção do plano \(ax+by+cz=d\) com os eixos coordenados e a origem?

V = \(\dfrac{d^{3}}{6abc}\).

Explicação:
Se o plano é \(ax+by+cz=d\), os interceptos são \(\left(\dfrac{d}{a},0,0\right),\left(0,\dfrac{d}{b},0\right),\left(0,0,\dfrac{d}{c}\right)\).
A área da base (triângulo no plano \(z=0\)) é \(A_b=\dfrac{(d/a)(d/b)}{2}=\dfrac{d^2}{2ab}\).
A altura é \(h=\dfrac{d}{c}\).
Logo \(V=\dfrac{A_b\,h}{3}=\dfrac{d^3}{6abc}\).

Exemplo:
Para \(2x+3y+6z=12\):
Interceptos: \((6,0,0),(0,4,0),(0,0,2)\).
Área da base: \(A_b=\dfrac{6\cdot4}{2}=12\).
Altura: \(h=2\).
Volume: \(V=\dfrac{12\cdot2}{3}=8\) u.v. — igual ao cálculo pela fórmula \(V=\dfrac{12^3}{6\cdot2\cdot3\cdot6}=\dfrac{1728}{216}=8\).