Qual condição deve satisfazer a soma dos quadrados das componentes de um vetor para que seu módulo seja inteiro?

Que a soma dos quadrados das componentes seja um quadrado perfeito.

Para \( \vec{u}=(u_1,\dots,u_n)\), \( |\vec{u}|=\sqrt{\sum_{i}u_i^2}\). Assim, é necessário existir \(k\in\mathbb{Z}^+\) tal que \(k^2=\sum_{i}u_i^2\).
Se uma componente é \(\sqrt{z}\), sua contribuição é \(z\), logo busca-se \(k^2=S+z\) (com \(S\) soma dos outros quadrados) e, para o menor \(z>0\), escolhe-se o menor \(k\) com \(k^2>S\).

Exemplo: Para \( \vec{v}=(4,1,\sqrt{z})\) temos \( |\vec{v}|=\sqrt{4^2+1^2+(\sqrt z)^2}=\sqrt{17+z}\).
Queremos \(17+z=k^2\). O menor \(k\) com \(k^2>17\) é \(k=5\), logo \(z=25-17=8\) e \( |\vec{v}|=\sqrt{25}=5\).