Como encontrar a constante de uma reta ax+by+c=0 a partir da área do triângulo formado pelos interceptos com os eixos?

Obtenha os interceptos: \(x\)-intercept \(=-\dfrac{c}{a}\), \(y\)-intercept \(=-\dfrac{c}{b}\). Depois use \(A=\tfrac{1}{2}\big|x_{\text{int}}\big|\big|y_{\text{int}}\big|\) e resolva para \(c\).

Exemplo:
Considere a reta \(4x+2y+k=0\) e área \(A=10\).
Interceptos: \(x_{Q}=-\dfrac{k}{4}\), \(y_{P}=-\dfrac{k}{2}\).
Área: \(\displaystyle 10=\tfrac{1}{2}\left|\!-\tfrac{k}{4}\!\right|\left|\!-\tfrac{k}{2}\!\right|=\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{k^2}{8}=\dfrac{k^2}{16}.\)
Logo \(\;k^2=160\Rightarrow k=\pm 4\sqrt{10}.\)
Se for informado que ambos os interceptos são positivos, então \(-k/4>0\) e \(-k/2>0\Rightarrow k<0\), logo \(k=-4\sqrt{10}\).