Se as coordenadas de \(\lambda\vec v\) numa base são \(a\) e \(b\), quais são as coordenadas de \(\vec v\)?

Resposta

As coordenadas são \(\dfrac{a}{\lambda}\) e \(\dfrac{b}{\lambda}\).

Explicação:
As coordenadas de um vetor numa base obedecem à linearidade: se \(\lambda\vec v = a\vec v_1 + b\vec v_2\), então \(\vec v = \dfrac{a}{\lambda}\vec v_1 + \dfrac{b}{\lambda}\vec v_2\).
Logo, multiplicar o vetor por um escalar \(\lambda\) multiplica suas coordenadas por \(\lambda\); inversamente, conhecer as coordenadas de \(\lambda\vec v\) permite dividir por \(\lambda\) para obter as de \(\vec v\).

Exemplo:
Suponha que as coordenadas de \(3\vec v\) sejam \((2,\,-5)\). Então as coordenadas de \(\vec v\) são \(\left(\dfrac{2}{3},\,\dfrac{-5}{3}\right)\).
Cálculo: \(3\vec v = 2\vec v_1 -5\vec v_2 \Rightarrow \vec v = \dfrac{2}{3}\vec v_1 - \dfrac{5}{3}\vec v_2\).